Бројни системи

Бројни системи су језици над скупом цифара. Имају своју

азбуку (непразан скуп цифара) и
граматику (правила) којима се конструишу сложене категорије (бројеви).

Сви познати бројни системи могу се поделити у две основне групе:

Позициони
Непозициони

Непозициони бројни системи

Цифре оваквих система исказују увек исту вредност, без обзира на ком месту се налазе у броју.
Типичан пример оваквог система је нама свима познати римски бројни систем. Скуп цифара чине: I, V, X, L, C, D и M и имају декадне вредности: 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000.

Правила за писање и читање бројева, састављених од римских цифара, могу се исказати на следећи начин:

Низ истих цифара у броју представља вредност једнаку њиховом збиру, на пример: II има вредност 2
Две цифре од којих се мања налази лево од веће, представљају вредност једнаку разлици веће и мање, на пример: IV има вредност 4
Две цифре од којих се мања налази десно од веће, представљају вредност једнаку збиру веће и мање, на пример: VII има вредност 7

Јасно је да би било напорно извођење аритметичких операција са римским бројевима као и записивање великих бројева. Из тог разлога се овај систем није ни развио у том смеру већ је ту улогу преузео позициони бројни систем.

Позициони бројни систем

Позициони бројни систем карактерише се основом r (означава се и са N или B). Неки број А представља се низом цифара A = a_n-1 a_n-2… a₁ a₀ , где су цифре бројног система.

Вредност броја А може се одредити као

Осим за целе, ово важи и за разломљене бројеве

Цифре позиционих бројних система у броју дају вредност у зависности од места (позиције) на коме се налазе (лево од децималног зареза позиције су 0, 1, 2, … а десно су —1, —2, … ). Вредност сваке цифре зависи од вредности и њене позиције у броју. Вредност поједине позиције (места) у броју назива се позициона вредност. Све позиционе вредности у једном броју једнаке су узастопним вредностима степена основе бројног система.

У рачунарским системима се, осим декадног, најчешће користе следећи бројни системи:

бинарни (r = 2, скуп цифара {0,1}),
октални (r = 8 , скуп цифара {0,1, …, 7}) и
хексадекадни (r = 16, скуп цифара {0,1, … , 9, А, B, C, D, E, F}).

Декадни бројни систем

Декадни број пишемо као низ цифара, а вредност израчунавамо као збир производа цифре и основе 10 степеноване позицијом.

Бинарни бројни систем

Бинарни бројни систем је систем чија је основа r = 2, скуп цифара = {0,1} и броји се по истом принципу (када се на највећу цифру 1 дода 1 добија се 10 као најмањи двоцифрени број. Бинарни број записујемо као:

Октални бројни систем

Октални бројни систем је систем чија је основа r = 8, скуп цифара = {0,1,2, 3,4,5,6,7} и броји се по истом принципу (када се на највећу цифру 7 дода 1 добија се 10 као најмањи двоцифрени број. Октални број пишемо:

Хексадецимални бројни систем

Хексадецимални бројни систем је систем чија је основа r = 16, скуп цифара = {0,1,2,3,4, 5,6, 7,8, 9, A, B,C, D,E, F} и броји се по истом принципу (када се на највећу цифру F дода 1 добија се 10 као најмањи двоцифрени број. Хексадецимални број пишемо:

Да би се хексадецималне цифре веће од 9 изразиле једним знаком договорено је да се за хексадецималне цифре од 10 до 15 узму слова абецеде од A до F тј.

( A)₁₆ = (10)₁₀ , (B)₁₆ = (11)₁₀ , (C)₁₆ = (12)_10,(D)₁₆ = (13)₁₀ , (E)₁₆ = (14)₁₀ , (F)₁₆ =(15)₁₀