Бројни системи

Бројни системи су језици над скупом цифара. Имају своју

  • азбуку (непразан скуп цифара) и
  • граматику (правила) којима се конструишу сложене категорије (бројеви).

Сви познати бројни системи могу се поделити у две основне групе:

  • Позициони
  • Непозициони

Непозициони бројни системи

Цифре оваквих система исказују увек исту вредност, без обзира на ком месту се налазе у броју.
Типичан пример оваквог система је нама свима познати римски бројни систем. Скуп цифара чине: I, V, X, L, C, D и M и имају декадне вредности: 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000.

Правила за писање и читање бројева, састављених од римских цифара, могу се исказати на следећи начин:

  • Низ истих цифара у броју представља вредност једнаку њиховом збиру, на пример: II има вредност 2
  • Две цифре од којих се мања налази лево од веће, представљају вредност једнаку разлици веће и мање, на пример: IV има вредност 4
  • Две цифре од којих се мања налази десно од веће, представљају вредност једнаку збиру веће и мање, на пример: VII има вредност 7

Јасно је да би било напорно извођење аритметичких операција са римским бројевима као и записивање великих бројева. Из тог разлога се овај систем није ни развио у том смеру већ је ту улогу преузео позициони бројни систем.


Позициони бројни систем

Позициони бројни систем карактерише се основом r (означава се и са N или B). Неки број А представља се низом цифара A = an-1 an-2… a1 a0 , где су  цифре бројног система.

Вредност броја А може се одредити као 

Осим за целе, ово важи и за разломљене бројеве

Цифре позиционих бројних система у броју дају вредност у зависности од места (позиције) на коме се налазе (лево од децималног зареза позиције су 0, 1, 2, … а десно су —1, —2, … ). Вредност сваке цифре зависи од вредности и њене позиције у броју. Вредност поједине позиције (места) у броју назива се позициона вредност. Све позиционе вредности у једном броју једнаке су узастопним вредностима степена основе бројног система.

У рачунарским системима се, осим декадног, најчешће користе следећи бројни системи:

  • бинарни (r = 2, скуп цифара {0,1}),
  • октални (r = 8 , скуп цифара {0,1, …, 7}) и
  • хексадекадни (r = 16, скуп цифара {0,1, … , 9, А, B, C, D, E, F}).

Декадни бројни систем

Декадни број пишемо као низ цифара, а вредност израчунавамо као збир производа цифре и основе 10 степеноване позицијом.


Бинарни бројни систем

Бинарни бројни систем је систем чија је основа r = 2, скуп цифара = {0,1} и броји се по истом принципу (када се на највећу цифру 1 дода 1 добија се 10 као најмањи двоцифрени број. Бинарни број записујемо као:

Октални бројни систем

Октални бројни систем је систем чија је основа r = 8, скуп цифара = {0,1,2, 3,4,5,6,7} и броји се по истом принципу (када се на највећу цифру 7 дода 1 добија се 10 као најмањи двоцифрени број. Октални број пишемо:

Хексадецимални бројни систем

Хексадецимални бројни систем је систем чија је основа r = 16, скуп цифара = {0,1,2,3,4, 5,6, 7,8, 9, A, B,C, D,E, F} и броји се по истом принципу (када се на највећу цифру F дода 1 добија се 10 као најмањи двоцифрени број. Хексадецимални број пишемо:

Да би се хексадецималне цифре веће од 9 изразиле једним знаком договорено је да се за хексадецималне цифре од 10 до 15 узму слова абецеде од A до F тј.

( A)16 = (10)10 , (B)16 = (11)10 , (C)16 = (12)10, (D)16 = (13)10 , (E)16 = (14)10 , (F)16 =(15)10

ПРИМЕРИ
1. Претварање декадног броја у бинарни, октални и хексадецимални

2. Претварање бинарног броја у декадни, октални и хексадецимални

3. Претварање окталног броја у декадни, бинарни и хексадецимални

4. Претварање хексадецималног броја у декадни, бинарни и октални

Advertisements

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s